Тут нужно разделить увольнение по собственному желанию и увольнение по медицинским показаниям.
Если обсуждать увольнение по инициативе работника, то такое увольнение по умолчанию производится с предварительным уведомлением за 2 недели. Соответственно, я рекомендую Вам составить заявление, в котором указать, что Вы требуете от работодателя уволить Вас «по собственному желанию через 2 недели после даты получения заявления» (можете прямо так и написать в заявлении, если не знаете, когда его получит Ваш работодатель). Все это время Вы можете находиться на больничном и не посещать работу.
Действительно положения ст. 80 Трудового кодекса РФ предусматривают возможность увольнения по собственному желанию в день подачи заявления, но для такого увольнения там указаны оговорки. Так можно уволиться в случае, если работодатель согласен (а у Вас не согласен) или если работник достиг пенсионного возраста и выходит на пенсию (неактуально). Если работник является водителем, и его в суде лишили права управлять транспортными средства – тоже можно написать заявление без срока предварительного уведомления. Так можно уволиться, если речь идет об увольнении с работы жены военнослужащего, который направляется к новому месту службы (п. 22 Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 17.03.2004 N 2) и в других случаях, когда работник не может исполнять трудовые обязанности.
Но в Вашем случае речь об исполнении трудовых обязанностей не идет в-принципе, поскольку в период болезни работник освобожден от исполнения трудовых обязанностей. Насколько я понял из переписки, работодатель не против того, чтобы в период нетрудоспособности Вас не было на работе, т.к. там указано: «Мы видим только закрытие 18 числа, соответственно, по нашим данным с 19 вы должны быть на работе». Иными словами работодатель не против Вашего отсутствия на работе при наличии подтверждения законности отсутствия.
Таким образом, в данном случае нельзя применить положения ст. 80 ТК РФ, касающиеся невозможности продолжения работы у работодателя. При этом я исхожу из того, что Вы можете и дальше в течение 14 дней находиться на больничном без проблем – объективных препятствий этому я не вижу.
Теперь про увольнение по медицинским показаниям.
Это отдельные виды увольнения, которые регламентируется другими статьями кодекса.
Например, в пункте 5 части 1 ст. 83 Трудового кодекса РФ (Прекращение трудового договора по обстоятельствам, не зависящим от воли сторон) разъяснено, что трудовой договор прекращается в случае «признание работника полностью неспособным к трудовой деятельности в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации». Соответственно, если у Вас на руках будет справка медико-социальной экспертизы о наличии у Вас инвалидности и неспособности выполнять обязанности – Вас уволят по ст. 83 ТК РФ.
А если Вам по медицинскому заключению понадобится перевод на другую работу, то начнет действовать ст. 73 ТК РФ, которая гласит, что работодатель обязан перевести работника на работу согласно его медицинскому заключению. Если ограничения на работу действуют менее 4-х месяцев, а работник отказывается от перевода или соответствующей работы у работодателя нет, то работодатель обязан отстранить работника от работы (в период такого отстранения по умолчанию не будет начисляться зарплата).
А если ограничения будут действовать более 4-х месяцев и подходящей для работника работы нет или же работник отказался от предложенной работы, то работника нужно уволить по пункту 8 части 1 ст. 77 Трудового кодекса РФ.
Итог: я Вам рекомендую переписать заявление на увольнение с указанием требования уволить Вас через 2 недели после получения заявления. Указанные 2 недели можете не работать, если Вы болеете. Обращаться на данном этапе в Государственную инспекцию труда или суд особого смысла нет.